INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

MAEG – Investigação Operacional II – Teoria dos Jogos

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1.	Determine o valor do jogo e as estratégias óptimas para o jogo de 2 pessoas e soma nula representado pela seguinte matriz:

4	5	5	8
6	7	6	9
5	7	5	4
6	6	5	5

2.	Determine o valor do jogo e as estratégias óptimas para o jogo de 2 pessoas e soma nula representado pela seguinte matriz

30	40	36
60	10	36

3.	Duas empresas concorrentes têm de decidir simultaneamente que quantidades vão produzir de um mesmo produto. O lucro total que as duas empresas terão é de $1000. Se ambas as empresas tiverem um nível de produção baixo, a empresa 1 terá um lucro de $500; se ambas as empresas tiverem um nível de produção elevado, a empresa 1 terá um lucro de $600; se a empresa 1 tiver um nível de produção baixo e a empresa 2 tiver um nível de produção elevado então a empresa 1 terá um lucro de $400 e no caso contrário a empresa 1 terá um lucro de $300.

a) diga de que tipo de jogo se trata e apresente-o nas formas normal e matricial;

b) Determine o valor do jogo e as estratégias óptimas de ambos os jogadores.

4.	A Alice e a Laura têm ambas uma moeda de 1€ e outra de 2€. Vão escolher uma das moedas e mostrá-la em simultâneo. Se forem iguais, a Alice fica com as duas; se forem diferentes, serão as duas para a Laura.

Determine as estratégias óptimas para este jogo.

5.	No período das 20:00 às 21:00, duas estações televisivas (TV1 e TV2) disputam uma audiência de 100 milhões de espectadores. As duas estações têm de anunciar em simultâneo que programa vão exibir nesse período. As escolhas possíveis para cada estação de TV e o nº de espectadores da TV1 para cada escolha são:

TV2
Western	Novela	Comédia
Western	35	15	60
TV1	Novela	45	58	50
Comédia	38	14	70

Este jogo tem ponto de sela? Qual o valor do jogo?

Considere um jogo cuja matriz de ganhos do jogador 1 é a seguinte:

Jogador	2
Estratégia1	Estratégia 2
Estratégia 1	-1	-1
Jogador 1	Estratégia 2	-3/2	0
Estratégia 3	1/2	0
Estratégia 4	0	1

Elimine as estratégias dominadas e determine a solução do jogo.

7.	Duas companhias, A e B, vendem 2 marcas de vacina para a gripe. Ambas as companhias anunciam na rádio, televisão, jornais e através de brochuras pelo correio.

Dependendo da eficácia da campanha, cada companhia pode capturar ou perder quota de mercado da outra. Estima-se que a % de mercado capturada (ou perdida) pela companhia A seja:

B1 (Rádio)	B2 (TV)	B3 (Jornais)	B4 (Brochuras)
A1 (Rádio)	0	2	-3	0
A2 (TV)	-2	0	0	3
A3 (Jornais)	3	0	0	-4
A4 (Brochuras)	0	-3	4	4

Qual será a solução deste jogo? Interprete.

8.	(Jogo conhecido por Morra, muito difundido entre os italianos) Dois jogadores jogam um jogo que consiste em levantar simultaneamente um ou dois dedos. Cada jogador quando levanta os dedos deve anunciar simultaneamente o nº de dedos que palpita (prevê) que o seu adversário vai levantar. Se nenhum ou ambos adivinham os dedos levantados pelo adversário, então o jogo fica empatado. Nos outros casos, o jogador que adivinha correctamente ganha (perda do adversário) uma soma em euros correspondente ao total dos dedos levantados pelos dois jogadores.

Estabeleça a matriz do jogo e determine a respectiva solução, indicando o valor do jogo e a estratégia óptima para cada jogador.

9.	Dois indivíduos suspeitos, A e B, foram seguidos pela polícia e capturados na posse de uma grande quantidade de notas falsas, o que por si dá uma pena de prisão de 2 anos. No entanto, existem fortes suspeitas de que os mesmos façam parte da direcção que lidera uma rede para produzir as notas falsas. Foram apresentados ao juiz que considera prova suficiente se houver a confissão de um deles no envolvimento da produção. Neste caso a pena normal é de 10 anos. No interrogatório o Juiz diz a cada um dos prisioneiros o seguinte: “Se apenas você confessar e testemunhar contra o seu parceiro, ficará livre e o seu parceiro terá uma pena (normal) de 10 anos de prisão. Isto é, em troca da sua colaboração, anulo-lhe a pena. Mas se confessarem ambos, a pena é apenas reduzida para 5 anos”.

a)	De que tipo de jogo se trata?

b)	Apresente o jogo na forma normal e matricial;

c)	Determine o ponto de equilíbrio. Comente.

10. Os USA e a Rússia desenvolvem um programa de corrida aos armamentos e cada um deles está assumindo que dispões de duas estratégias: desenvolver um novo míssil intercontinental com ogiva nuclear ou manter o status quo. Se ambos desenvolverem o programa nuclear referido, o equilíbrio de poder mantém-se e cada um deles teve custos de 100 milhões de dólares. Se se mantiver o status quo, o equilíbrio de poder mantém-se sem custos adicionais. Se um deles desenvolver o novo sistema de armamento e o outro não, o que se envolve tem um ganho estimado em 100 milhões de dólares e o outro uma perda de 1000 milhões de dólares correspondentes aos ganhos e perdas de poder e influência no xadrez da política e economia mundiais.

Estabeleça a matriz do jogo e identifique um ponto de equilíbrio para este jogo.

11.	Duas empresas estão a pensar instalar unidades fabris em duas cidades, A e B. Para qualquer delas, as alternativas são: uma fábrica mais pequena em cada uma das cidades ou instalar numa das cidades apenas uma fábrica maior para satisfazer as duas cidades. Se ambas as empresas tiverem as fábricas nas mesmas cidades, neste caso a “guerra” promocional entre as empresas faz aumentar o mercado respectivo em 20% e cada uma obtém 50% de quota de mercado. Se uma empresa ficar sozinha numa cidade, então ela consegue 80% de quota, ficando 20% para a outra (clientes fieis de outra cidade). A cidade A tem um mercado de 50 mil clientes e a cidade B um mercado de 40 mil clientes.

Construa a matriz do jogo e determine a sua solução.

12. (Modelo de Duopólio de Cournot) Considere o mercado de um produto em que existem apenas duas Empresas, 1 e 2, que produzem, respectivamente, as quantidades e . O preço, p, em função da procura total, Q, é dado por p(Q) = 1000-0,8Q, sendo . O custo unitário de produção é igual para as duas empresas e é c = 100.

Diga de que tipo de jogo se trata, apresente-o na forma normal e determine a estratégia óptima para cada empresa (ponto de equilíbrio de Nash).

13.	Duas empresas refinadoras, I e II, sendo detentoras, respectivamente, de duas tecnologias alternativas, A e B. À partida cada empresa prefere, naturalmente, utilizar a sua tecnologia. Se ambas as empresas utilizarem a mesma tecnologia, o Cash-Flow Actualizado total é 18: Se for a tecnologia A, a empresa I fica com 10 e a empresa II com 8. Se for a tecnologia B, a distribuição é ao contrário. Se utilizarem tecnologias diferentes, o CFA total é 12, sendo metade para cada uma.

a) Supondo que I escolhe primeiro, diga de que tipo de jogo se trata, represente-o e determine o ponto de equilíbrio (decisão a tomar);

b)	Supondo que a escolha é simultânea, de que jogo se trata? Apresente-o e indique o ponto de equilíbrio. Comente.

14.	O investigador João Guilherme inventou um novo medicamento. Como não o pode produzir, vai vender a fórmula às empresas farmacêuticas F2 ou F3. A empresa a quem ele vender partilhará um milhão de euros de lucro com João Guilherme.

Determine a função característica para este jogo;

Determine o núcleo deste jogo;

Determine o valor de Shapley.

15.	Considere um jogo com 4 pessoas e a seguinte função característica:

v({1,2,3}) = v({1,2,4}) = v({1,3,4}) = v({2,3,4}) = 75, v({1,2,3,4}) = 100, v({3,4})=60 e v(S)=0, para as restantes coligações S.

Mostre que o núcleo é o conjunto vazio;

Mostre que se considerar v({3,4})=50 no exercício anterior, o núcleo será um conjunto singular.

16.	João possui um terreno avaliado em 100 000 euros. António é um promotor imobiliário que não tem mas pode desenvolver o terreno e aumentar o seu valor para 200 000 euros. Manuel é outro promotor que também não tem mas também sabe desenvolver o terreno de modo a aumentar o seu valor para 300 000 euros.

Determine a função característica para este jogo;

b)	Qual (quais) dos seguintes vectores de ganhos é uma imputação?

b1) ($100 000, $100 000, $100 000)

b2) ($50 000, $200 000, $50 000)

b3) ($120 000, $190 000, -$10 000)

b4) ($110 000, $110 000, $110 000)

Determine o núcleo deste jogo.

17.	Três tipos de avião (Piper Séneca, DC 10 e Boeing 707) usam um aeroporto. O Piper Séneca necessita de apenas 100 jardas de pista, o DC 10 necessita de 150 jardas de pista e o 707 de 400 jardas. O custo (em euros) de manter uma pista durante o ano é igual ao comprimento da pista (em euros). Por simplicidade, supomos que em cada ano é possível ceder pista a apenas um avião de cada tipo.

Quanto deve ser cobrado a cada avião, dos 400 euros de manutenção da pista?